Секи Кова

Секи Кова (Seki Kowa 関孝和?) или Секи Такаказу (Seki Takakazu 関孝和) (родился 1637/1642? – 5 декабря, 1708) был японским математиком, создавшим новую алгебраическую систему записи и заложившим основы дальнейшего развития васан. Мотивируемый астрономическими вычислениями, он выполнил некоторые важные работы в области расчета и нахождения целого неопределенного уравнения, которые впоследствии развивали его преемники. Созданная его последователями математическая школа (Школа Seki) доминировала в Японской математике до конца эры Эдо.

Он жил в одно время с Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном, хотя очевидно, что, в силу изоляционной политики Японии, не мог контактировать с ними. Он стал автором некоторых теорем и теорий, вскоре после этого открытых на Западе. Например, числа Бернулли (опубликовано в 1712), равнодействующей силы, детерминанта (первое открытие в 1683, завершенная теория опубликована позже в 1710) приписаны ему. Эти достижения удивляют, учитывая тот факт, что японская математика до появления ученого находилась в примитивной стадии, например, всестороннее введение в 13-м веке китайской алгебры было сделано позднее в 1671 Казуюки Савагучи (Kazuyuki Sawaguchi).

Однако, по сей день не ясно, какие из приписанных ему достижений являтся его собственным вкладом в науку, так как многие из них появляются только в описаниях или в соавторстве с его учениками. Также, не многое известно о его биографии. Местом его рождения может быть Фудзиока (Fujioka) в префектуре Гунма (Gunma), или Токио, и год рождения может быть любым между 1635 и 1643. Он родился в клане Учияма (Uchiyama), подданных Ко-шу хана (Ko-shu han), и позже был принят в семью Секи (Seki), к подданным Сёгуна. Будучи подданным Ко-шу хана, он занимался созданием достоверной карты территории своего господина. Также, он провел много лет за изучением китайского календаря 13-го столетия, для того чтобы заменить им менее точный календарь Японии, действовавший в то время.

Влияние китайской математики

Математика Секи (и васан в целом) базируется на математических постулатах XIII-XV столетий. Среди них алгебра с числовым методом, многочленная интерполяция и их приложения, неопределенные интегральные уравнения. Работа Секи в той или иной мере была основана на них или имела к ним отношение.

Китайская алгебра открыла числовое решение (Метод Хорнера, восстановленный Хорнером в XIX столетии) произвольного алгебраического уравнения степени с действительными коэффициентами. Она приводила геометрические проблемы к алгебраическим, систематически используя теорему Пифагора .

Тем не менее, количество неизвестных в уравнении было очень ограничено. Для представления формулы использовался массив чисел, например, (a\ b\ c) представляли, как ax2 + bx + c. Позже, быд изобретен метод, использовавший двумерные массивы, в болшинстве случаев представляя четыре переменные. Очевидно, для дальнейшего развития в этом направлении было недостаточно места. С того времени целью Секи и его современников стало развитие общей теории многочленных алгебраических уравнений и теории исключения переменных.

Также, китайцы применяли многочленную интерполяцию. Мотивацией для этого открытия выступала возможность предсказывать движение небесных тел при помощи наблюдений такого рода. Этот метод Также применялся для определения различных математических формул. Секи был знаком с этим методом, вероятнее всего, благодаря близкому изучению китайских календарей.

Теория элиминации (исключения): соревнование с математиками в Осаке и Кито

В 1671г. Савагучи Казуюки (Sawaguchi Kazuyuki 沢口 一之?), ученик Хашимото Масаказу (Hashimoto Masakazu 橋本 正数?) в Осаке, опубликовал труд Кокин-Санпо-Ки (Kokin-Sanpo-Ki 古今算法之記), в котором дал первое понятное представление о Китайской алгебре в Японии и успешно применил ее к проблемам, предложенным его современниками. До него эти проблемы решались с помощью арифметического метода. В конце книги он предложил другим математикам 15 новых задач, требовавших для своего решения разнообразных алгебраических уравнений.

В 1674 г. Секи опубликовал трактат Хатсуби-Сампо(Hatsubi-Sampo 発微算法) с решениями всех 15 задач с помощью метода бушо-ху (bousho-hou). Он ввел иероглифы кандзи, чтобы представить неизвестные и переменные в уравнениях. Несмотря на возможность представить произвольные уравнения степени (он даже рассматривал 1458 ст.!) с негативными коэффициентами, не было никаких символов, соответствовавших круглым скобкам, равенству или делению. Например, уравнение вида ax + b могло также означать ax + b = 0. Позже, система была усовершенствована другими математиками, и, в конечном итоге, стала столь же мощной как и европейская.

Однако, в своей книге, изданной в 1674 г., Секи дал уравнения с переменными после исключения, оставив за кадром все растчеты и свою новую систему алгебраических символов. Хуже того, в первом издании было несколько ошибок. Математик школы Хашимото (Hashimoto критиковал его, сказав 'только 3 из 15 правильны'. В 1678 г. Танака Йошизане (Tanaka Yoshizane 田中 由真?), представитель школы Хашимото из Киото, в своем труде Сампо-меикаи (Sampo-meikai 算法明記) предложил новые решения 15 задач Савагуши, используя его версию множества переменных в алгебре, похожую на систему Секи. Чтобы ответить критике, в 1685 г. Такебе Кенко (Katahiro Takebe, 建部 賢弘?), один из учеников Секи, опубликовал в Хатсуби-Сампо Генкаи (Hatsubi-Sampo Genkai 発微算法諺解), заметки , в которых он подробно показал процесс исключения, использовав алгебраические символы.

Эффект введения такой системы символов не ограничивается алгеброй; с ее помощью математики того времени смогли выразить математические результаты в более общем и абстрактном виде.

Теперь, имея возможность выразить уравнение, они сосредоточились на изучении исключения переменных. В 1683 г.Секи выступил с теорией исключения, основанной на равнодействующей силе. Для определения результата он изобрел понятие детерминанта. Однако, в его рукописи, формула для матрицы 5×5 очевидно неправильна, равняясь всегда нулю. Все же в его более поздней публикации Таисеи-санкеи (大成算経Taisei-sankei), написанной в 1683-1710 годах, вместе с Такебе Кенко и его братьями, появляется более правильная и общая формула (Формула Лапласа).

Танака, независимо от них, также пришел к этой идее. Публикация появилась в его книге уже в 1678 г. некоторые из уравнений после исключения оставались такими же как и результирующий вектор. В Сампо-Функаи (Sampo-Funkai 算法紛解 1690?), он явно описал результирующий вектор, и обратился к нескольким проблемам. В 1690, Изеки Томотоки (Izeki Tomotoki 井関 知辰?), и математики, не относящиеся к школе Hashimoto, работающие в Осаке, опубликовали Сампо-Хакки (Sampo-Hakki 算法発揮), в котором представили результирующий вектор и формулу Лапласа для детерминанта в случаи n×n.

Связи между этими работами не ясны. Но можно увидеть, что Секи развивал свою математику в жестокой конкуренции с математиками Осаки и Киото, который был культурным центром Японии.

В сравнении с Европейской математикой, первая рукопись Секи была столь же ранней, как и первый комментарий Лейбница на тему обработки массива в случае 3×3. Кроме того, в Европе, эта тема была забыта до тех пор, пока Габриэль Крамер снова не поднял этот вопрос в 1750 г., руководствуясь теми же побуждениями, что и японские математики. Теорию исключения, которая эквивалентна японской теории, открыл вновь Безу в 1764 г. Так называемая формула Лапласа была принята только в 1750 г.

Во времена Секи, значительная часть проблем была решена, благодаря завершению теории исключения переменных. (Как вы помните, в Китайской традиционной математике геометрия почти сократилась до алгебры). На практике, конечно, вычисление не всегда можно было осуществить полностью в силу его огромной сложности. Все же, эта теория оказала существенное влияние на направление развития васан.

После того, как исключение переменных сделано, необходимо выяснить реальный корень единственной переменной в числовом уравнении. Метод Хорнера, завершенный в Китае, не был трансформирован в Японии. Так, Секи приходилось работать независимо от других ученых. (Благодаря этому, он иногда сопоставляется с методом Хорнера, который не совсем правилен.) Он также предложил усовершенствование метода Хорнера, сократив степень высшего порядка после некоторых повторений. Это, случается, так же как и в методе Ньютона-Рафсона (Newton-Raphson), но в абсолютно другой перспективе. Обратите внимание, ни он, ни его ученики никогда не выступали с идеей производной в точном значении.

Он также изучал свойства алгебраических уравнений c целью содействия числам. Самым выдающимся из них стало условие существования множества корней, основанных на дискриминанте (это теория также более раняя, чем на Западе), которое является равнодействующей силой многочлена и его производной, а определение производной - o(h) превращается в f(x+h). Он также дал точную оценку числа реальных корней уравнения. '